一類幾何非線性系統(tǒng)的H0pf分岔研究論文

　　摘要：研究了一類具有無理非線性恢復力的幾何非線性系統(tǒng)的Hop盼岔問題，首先，應用Lagrange方程建立了幾何非線性動力學運動微分方程，分析了平衡點的分岔及穩(wěn)定性等復雜動力學行為，利用泰勒級數(shù)對原系統(tǒng)逼近并進行五次截斷，引A.Van del Pol阻尼擾動得到五次非線性Lienard系統(tǒng)，然后利用Hop盼岔理論，得到了系統(tǒng)在分岔突變點附近的三個Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性發(fā)生改變并在平衡點附近出現(xiàn)極限環(huán)。

　　關鍵詞：幾何非線性系統(tǒng)；五次非線性；Hopf分岔；極限環(huán)；Runge-Kutta法

　　幾何非線性是當代科學技術與工程應用中經(jīng)常遇到的重要非線性因素，與材料非線性、接觸非線性構成工程應用研究中的三大非線性問題，基于無理非線性特性出現(xiàn)了一類嶄新的幾何非線性動力系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)被命名為SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，該振子依賴于系統(tǒng)參數(shù)表現(xiàn)出光滑動力學到不連續(xù)動力學的轉(zhuǎn)遷特性。

　　文章研究非線性Van del Pol阻尼擾動的耦合SD振子的Hopf分岔，理論分析得到系統(tǒng)的多Hopf分岔行為，數(shù)值模擬驗證幾何非線性系統(tǒng)的多極限環(huán)共存現(xiàn)象。

　　1.幾何非線性動力學系統(tǒng)

　　1.1力學模型

　　基于SD振子力學模型，我們建立了幾何非線性動力學系統(tǒng)（或耦合SD振子）的力學模型，它由一個質(zhì)量塊m和連接于質(zhì)量塊的一對傾斜且能夠被拉壓彈簧上構成.彈簧的剛度系數(shù)和自然長度分別為k和L，末端固定在一個剛性底座上，雖然彈簧提供線性回復力，但是由于模型幾何非線性構型的改變使作用在質(zhì)量塊上的水平方向的力表現(xiàn)為強無理非線性特性。

　　2.幾何非線性系統(tǒng)的運動微分方程為

　　Hopf分岔理論研究的是自治系統(tǒng)平衡點解分岔產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)周期解的問題，基本思想是基于經(jīng)典穩(wěn)定性理論，從方程的攝動方程零解穩(wěn)定性來判別平衡點解的穩(wěn)定性.Hopf證明了系統(tǒng)在分岔值處將從平衡點解分岔出一個非常量的周期解，即對應系統(tǒng)的極限環(huán)，系統(tǒng)發(fā)生振蕩或振蕩失穩(wěn)。因此追蹤系統(tǒng)平衡解流形、確定分岔點位置，對于了解無理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性及其變化規(guī)律有重要的意義。

　　3.結語

　　文章分析了未擾動幾何非線性系統(tǒng)的光滑與不連續(xù)動力學轉(zhuǎn)遷特性，包括平衡點分岔、恢復力及勢能函數(shù)，給出了Vander Pol阻尼擾動下系統(tǒng)的HoDf分岔條件.理論結果為幾何非線性系統(tǒng)的Hopf分岔及穩(wěn)定性的控制與設計參數(shù)選取提供理論依據(jù)。

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